Условие
Точки
A и
B окружности
S1 соединены дугой
окружности
S2, делящей площадь круга, ограниченного
S1,
на равные части. Докажите, что дуга
S2, соединяющая
A и
B, по
длине больше диаметра
S1.
Решение
Рассматривая образ окружности
S2 при симметрии
относительно центра окружности
S1 и учитывая равенство площадей,
можно доказать, что диаметр
AA1 окружности
S1 пересекает
S2
в некоторой точке
K, отличной от
A, причем
AK >
A1K. Окружность
радиуса
KA1 с центром
K касается окружности
S1 в точке
A1,
поэтому
BK >
A1K, т. е.
BK +
KA >
A1A. Ясно также, что сумма длин
отрезков
BK и
KA меньше длины дуги
S2, соединяющей точки
A
и
B.
Источники и прецеденты использования
