ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56814
Тема:    [ Перегруппировка площадей ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (рис.). Докажите, что площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника.
б) Докажите, что площадь двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.



Решение

а) Разрежем исходный квадрат на четыре квадрата и рассмотрим один из них (рис.). Пусть точка B' симметрична точке B относительно прямой PQ. Докажем, что  $ \triangle$APB = $ \triangle$OB'P. Треугольник APB равнобедренный, причем угол при его основании равен  15o, поэтому треугольник BPQ равносторонний. Следовательно, $ \angle$OPB' = $ \angle$OPQ - $ \angle$B'PQ = 75o - 60o = 15o и $ \angle$POB' = $ \angle$POQ/2 = 15o. Кроме того, AB = OP. Аналогично доказывается, что  $ \triangle$BQC = $ \triangle$OB'Q. Следовательно, площадь заштрихованной на рис. части равна площади треугольника OPQ.
б) Пусть площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 12x. Согласно задаче а) площадь квадрата, описанного около этой окружности, равна  12x + 4x = 16x; с другой стороны, площадь этого квадрата равна 4, поэтому x = 1/4 и 12x = 3.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 4
Название Площадь
Тема Площадь
параграф
Номер 9
Название Перегруппировка площадей
Тема Перегруппировка площадей
задача
Номер 04.062

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .