Информация о задаче

Задача 57015

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Углы при основании AD трапеции ABCD равны 2 $\alpha$ и 2 $\beta$ . Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда BC/AD = tg $\alpha$ tg $\beta$ .

Решение

Пусть r — расстояние от точки пересечения биссектрис углов A и D до основания AD, r' — расстояние от точки пересечения биссектрис углов B и C до основания BC. Тогда AD = r(ctg $\alpha$ + ctg $\beta$ ) и BC = r'(tg $\alpha$ + tg $\beta$ ). Поэтому r = r' тогда и только тогда, когда BC/AD = (tg $\alpha$ + tg $\beta$ )/(ctg $\alpha$ + ctg $\beta$ ) = tg $\alpha$ ^.tg $\beta$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.007