Условие
Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Лучи AB и CD
пересекаются в точке P, а лучи BC и AD — в точке Q. Докажите,
что четырехугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда
выполняется одно из следующих условий:
AB + CD = BC + AD, AP + CQ = AQ + CP
или
BP + BQ = DP + DQ.
Решение
Докажем сначала, что если четырехугольник ABCD
описанный, то выполняются все условия. Пусть K, L, M и N —
точки касания вписанной окружности со сторонами AB, BC, CD и DA.
Тогда
AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CL + DN = BC + AD, AP + CQ = AK + PK + QL - CL = AN + PM + QN - CM = AQ + CP
и
BP + BQ = AP - AB + BC + CQ = (AP + CQ) + (BC - AB) = AQ + CP + CD - AD = DP + DQ.
Докажем теперь, например, что если
BP + BQ = DP + DQ, то
четырехугольник ABCD описанный. Рассмотрим для этого окружность,
касающуюся стороны BC и лучей BA и CD. Предположим, что
прямая AD не касается этой окружности; сдвинем эту прямую так, чтобы
она коснулась окружности (рис.). Пусть S — такая точка
прямой AQ, что
Q'S| DD'. Так как
BP + BQ = DP + DQ
и
BP + BQ' = D'P + D'Q', то
QS + SQ' = QQ'. Получено противоречие. В двух
других случаях доказательство проводится аналогично.
Источники и прецеденты использования
