Задача 57022

Тема:    [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырехугольника с вписанной окружностью.

Решение

Пусть стороны  AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD касаются вписанной окружности в точках E, F, G, H соответственно.
Покажем сначала, что прямые FH, EG и AC пересекаются в одной точке. Обозначим точки, в которых прямые FH и EG пересекают прямую AC, через M и M' соответственно. Поскольку  AHM = BFM как углы между касательными и хордой HF, то  sin AHM = sin CFM. Поэтому  = = , т. е.  = . Аналогично  = = = , поэтому M = M', т. е. прямые FH, EG и AC пересекаются в одной точке.
Аналогичные рассуждения показывают, что прямые FH, EG и BD пересекаются в одной точке, поэтому прямые AC, BD, FH и EG пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.011