Условие
Даны окружность и точка
P внутри ее. Через
каждую точку
Q окружности проведем касательную. Перпендикуляр,
опущенный из центра окружности на прямую
PQ, и касательная
пересекаются в точке
M. Найдите ГМТ
M.
Решение
Пусть
O — центр окружности,
N — точка
пересечения прямых
OM и
QP. Опустим из точки
M перпендикуляр
MS
на прямую
OP. Из подобия треугольников
ONQ и
OQM,
OPN и
OMS
получаем
ON :
OQ =
OQ :
OM и
OP :
ON =
OM :
OS.
Перемножая эти равенства, получаем
OP :
OQ =
OQ :
OS.
Поэтому
OS =
OQ2 :
OP является постоянной величиной. А так как
точка
S лежит на прямой
OP, ее положение не зависит от выбора
точки
Q. Искомым ГМТ является прямая, перпендикулярная прямой
OP и
проходящая через точку
S.
Источники и прецеденты использования
