ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57311
Тема:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При любом натуральном n из чисел an, bn и cn можно составить треугольник. Докажите, что среди чисел a, b и c есть два равных.

Решение

Можно считать, что  a $ \geq$ b $ \geq$ c. Докажем, что a = b. В самом деле, если b < a, то  b $ \leq$ $ \lambda$a и  c $ \leq$ $ \lambda$a, где  $ \lambda$ < 1. Поэтому  bn + cn $ \leq$ 2$ \lambda^{n}_{}$an. При достаточно большом n имеем  2$ \lambda^{n}_{}$ < 1 и получаем противоречие с неравенством треугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 2
Название Алгебраические задачи на неравенство треугольника
Тема Алгебраические задачи на неравенство треугольника
задача
Номер 09.008

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .