ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57468
Тема:    [ Неравенства для площади треугольника ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты произвольные точки A1, B1 и C1. Пусть  a = SAB1C1, b = SA1BC1, c = SA1B1C и  u = SA1B1C1. Докажите, что

u3 + (a + b + c)u2 $\displaystyle \geq$ 4abc.



Решение

Можно считать, что площадь треугольника ABC равна 1. Тогда a + b + c = 1 - u, поэтому данное неравенство перепишется в виде  u2 $ \geq$ 4abc. Пусть  x = BA1/BC, y = CB1/CA и z = AC1/AB. Тогда  u = 1 - (x + y + z) + xy + yz + zx и  abc = xyz(1 - x)(1 - y)(1 - z) = v(u - v), где v = xyz. Поэтому мы переходим к неравенству  u2 $ \geq$ 4v(u - v), т. е.  (u - 2v)2 $ \geq$ 0. Последнее неравенство очевидно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 10
Название Неравенства для элементов треугольника
Тема Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер 8
Название Неравенства для площади треугольника
Тема Неравенства для площади треугольника
задача
Номер 10.057

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .