Информация о задаче

Задача 57472

Тема:

[

Против большей стороны лежит больший угол

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть ABCD и A₁B₁C₁D₁ — два выпуклых четырехугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если $\angle$ A > $\angle$ A₁, то $\angle$ B < $\angle$ B₁, $\angle$ C > $\angle$ C₁, $\angle$ D < $\angle$ D₁.

Решение

Если мы фиксируем две стороны треугольника, то чем больше будет угол между ними, тем больше будет третья сторона. Поэтому из неравенства $\angle$ A > $\angle$ A₁ следует, что BD > B₁D₁, т. е. $\angle$ C > $\angle$ C₁. Предположим теперь, что $\angle$ B $\geq$ $\angle$ B₁. Тогда AC $\geq$ A₁C₁, т. е. $\angle$ D > $\angle$ D₁. Поэтому 360^o = $\angle$ A + $\angle$ B + $\angle$ C + $\angle$ D > $\angle$ A₁ + $\angle$ B₁ + $\angle$ C₁ + $\angle$ D₁ = 360^o. Получено противоречие; следовательно, $\angle$ B < $\angle$ B₁ и $\angle$ D < $\angle$ D₁.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	9
Название	Против большей стороны лежит больший угол
Тема	Против большей стороны лежит больший угол
задача
Номер	10.061