Информация о задаче

Задача 57474

Тема:

[

Против большей стороны лежит больший угол

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что выпуклый пятиугольник ABCDE с равными сторонами, углы которого удовлетворяют неравенствам $\angle$ A $\geq$ $\angle$ B $\geq$ $\angle$ C $\geq$ $\angle$ D $\geq$ $\angle$ E, является правильным.

Решение

Предположим сначала, что $\angle$ A > $\angle$ D. Тогда BE > EC и $\angle$ EBA < $\angle$ ECD. Так как в треугольнике EBC сторона BE больше стороны EC, то $\angle$ EBC < $\angle$ ECB. Поэтому $\angle$ B = $\angle$ ABE + $\angle$ EBC < $\angle$ ECD + $\angle$ ECB = $\angle$ C, что противоречит условию задачи. Значит, $\angle$ A = $\angle$ B = $\angle$ C = $\angle$ D. Аналогично предположение $\angle$ B > $\angle$ E приводит к неравенству $\angle$ C < $\angle$ D. Поэтому $\angle$ B = $\angle$ C = $\angle$ D = $\angle$ E.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	9
Название	Против большей стороны лежит больший угол
Тема	Против большей стороны лежит больший угол
задача
Номер	10.063