Информация о задаче

Задача 57622

Тема:

[

Синусы и косинусы углов треугольника

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а) cos 2 $\alpha$ + cos 2 $\beta$ + cos 2 $\gamma$ + 4 cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ + 1 = 0;
б) cos² $\alpha$ + cos² $\beta$ + cos² $\gamma$ + 2 cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ = 1.
в) cos 2 $\alpha$ + cos 2 $\beta$ + cos 2 $\gamma$ = ${\frac{OH^2}{2R^2}}$ - ${\frac{3}{2}}$ , где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

Решение

а) Складывая равенства cos 2 $\alpha$ + cos 2 $\beta$ = 2 cos( $\alpha$ + $\beta$ )cos( $\alpha$ - $\beta$ ) = - 2 cos $\gamma$ cos( $\alpha$ - $\beta$ ) и cos 2 $\gamma$ = 2 cos² $\gamma$ - 1 = - 2 cos $\gamma$ cos( $\alpha$ + $\beta$ ) - 1 и учитывая, что cos( $\alpha$ + $\beta$ ) + cos( $\alpha$ - $\beta$ ) = 2 cos $\alpha$ cos $\beta$ , получаем требуемое.
б) Достаточно подставить выражения вида cos 2 $\alpha$ = 2 cos² $\alpha$ - 1 в равенство, полученное в задаче а).
в) Согласно задаче 13.13 $\overrightarrow{OH}$ = $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{OC}$ , поэтому

OH² = ( $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ )² = 3R² + 2R²(cos 2 $\displaystyle \alpha$ + cos 2 $\displaystyle \beta$ + cos 2 $\displaystyle \gamma$ ).

При записи последнего равенства мы воспользовались тем, что ( $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ ) = 2R cos $\angle$ AOB = 2R cos 2 $\gamma$ и т.д.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	5
Название	Синусы и косинусы углов треугольника
Тема	Синусы и косинусы углов треугольника
задача
Номер	12.039