ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57622
Тема:    [ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos 2$ \alpha$ + cos 2$ \beta$ + cos 2$ \gamma$ + 4 cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ + 1 = 0;
б)  cos2$ \alpha$ + cos2$ \beta$ + cos2$ \gamma$ + 2 cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ = 1.
в) cos 2$ \alpha$ + cos 2$ \beta$ + cos 2$ \gamma$ = $ {\frac{OH^2}{2R^2}}$ - $ {\frac{3}{2}}$, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

Решение

а) Складывая равенства  cos 2$ \alpha$ + cos 2$ \beta$ = 2 cos($ \alpha$ + $ \beta$)cos($ \alpha$ - $ \beta$) = - 2 cos$ \gamma$cos($ \alpha$ - $ \beta$) и  cos 2$ \gamma$ = 2 cos2$ \gamma$ - 1 = - 2 cos$ \gamma$cos($ \alpha$ + $ \beta$) - 1 и учитывая, что cos($ \alpha$+$ \beta$) + cos($ \alpha$-$ \beta$) = 2 cos$ \alpha$cos$ \beta$, получаем требуемое.
б) Достаточно подставить выражения вида  cos 2$ \alpha$ = 2 cos2$ \alpha$ - 1 в равенство, полученное в задаче а).
в) Согласно задаче 13.13 $ \overrightarrow{OH}$ = $ \overrightarrow{OA}$ + $ \overrightarrow{OB}$ + $ \overrightarrow{OC}$, поэтому

OH2 = ($\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC}$)2 = 3R2 + 2R2(cos 2$\displaystyle \alpha$ + cos 2$\displaystyle \beta$ + cos 2$\displaystyle \gamma$).

При записи последнего равенства мы воспользовались тем, что ($ \overrightarrow{OA}$,$ \overrightarrow{OB}$) = 2R cos$ \angle$AOB = 2R cos 2$ \gamma$ и т.д.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 12
Название Вычисления и метрические соотношения
Тема Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер 5
Название Синусы и косинусы углов треугольника
Тема Синусы и косинусы углов треугольника
задача
Номер 12.039

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .