ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57813
Тема:    [ Перенос помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD.
а) Докажите, что KM$ \le$(BC + AD)/2, причем равенство достигается, только если BC| AD.
б) При фиксированных длинах сторон четырехугольника ABCD найдите максимальные значения длин отрезков KM и LN.

Решение

а) Достроим треугольник CBD до параллелограмма CBDE. Тогда 2KM = AE$ \le$AD + DE = AD + BC, причем равенство достигается, только если AD| BC.
б) Пусть a = AB, b = BC, c = CD и d = DA. Если | a - c| = | b - d|$ \ne$ 0, то согласно задаче а) максимум достигается в вырожденном случае, когда все точки A, B, C и D окажутся на одной прямой. Предположим теперь, например, что | a - c| < | b - d|. Достроим треугольники ABL и LCD до параллелограммов ABLP и LCDQ. Тогда PQ$ \ge$| b - d|, а значит, LN2 = (2LP2 + 2LQ2 - PQ2)/4$ \le$(2(a2 + c2) - (b - d )2)/4. Кроме того, согласно задаче a) KM$ \le$(b + d )/2. Оба равенства достигаются, когда ABCD — трапеция с основаниями AD и BC.
Построим окружность S, касающуюся стороны AB и лучей BC и AD, и перенесем треугольник CND параллельно (в направлении оснований BC и AD) так, чтобы точка N' совпала с точкой M, т. е. сторона C'D' касалась окружности S (рис.).


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 15
Название Параллельный перенос
Тема Параллельный перенос
параграф
Номер 1
Название Перенос помогает решить задачу
Тема Перенос помогает решить задачу
задача
Номер 15.003

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .