Условие
Даны три прямые
a,
b,
c. Докажите, что композиция симметрий
ScoSboSa является симметрией относительно некоторой прямой тогда
и только тогда, когда данные прямые пересекаются в одной точке.
Решение
Предположим сначала, что
ScoSboSa =
Sl для некоторой прямой
l.
Тогда
SboSa =
ScoScoSboSa =
ScoSl. Неподвижной
точкой преобразования
SboSa является точка пересечения прямых
a и
b. Она должна быть также неподвижной точкой преобразования
ScoSl,
поэтому прямая
c должна проходить через точку пересечения прямых
a и
b.
Предположим теперь, что данные прямые пересекаются в точке
O. Композиция
SboSa представляет собой поворот с центром
O, поэтому
SboSa =
Sb'oSa' для любой пары прямых
a' и
b', полученных
из
a и
b поворотом с центром
O на один и тот же угол. Можно добиться,
чтобы при этом повороте прямая
b' совпала с прямой
c. Тогда
ScoSboSa =
ScoSb'oSa' =
ScoScoSa' =
Sa'.
Источники и прецеденты использования
