Условие
С невыпуклым несамопересекающимся многоугольником производятся
следующие операции. Если он лежит по одну сторону от прямой
AB,
где
A и
B — несмежные вершины, то одна из частей, на которые
контур многоугольника делится точками
A и
B, отражается относительно
середины отрезка
AB. Докажите, что после нескольких таких
операций многоугольник станет выпуклым.
Решение
При этих операциях векторы сторон многоугольника
остаются теми же самыми; изменяется только их порядок (рис.).
Поэтому имеется лишь конечное число многоугольников, которые
могут получиться. Кроме того, после каждой операции площадь
многоугольника строго возрастает. Следовательно, процесс конечен.
Источники и прецеденты использования
