Информация о задаче

Задача 58211

Тема:

[

Теорема Пика

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что квадрат со стороной n не может накрыть более (n + 1)² точек целочисленной решётки.

Решение

Пусть M — выпуклая оболочка точек целочисленной решётки, покрытых квадратом со стороной n. Согласно формуле Пика её площадь равна p + ${\frac{q}{2}}$ - 1, где p — количество целочисленных точек внутри M, q — количество целочисленных точек на границе M. Поэтому p + ${\frac{q}{2}}$ - 1 $\le$ n².
Периметр M не превосходит периметра данного квадрата (задача 9.27 б). Кроме того, расстояние между соседними целочисленными точками на границе M не меньше 1. Поэтому q $\le$ 4n.
Сложив неравенства p + ${\frac{q}{2}}$ - 1 $\le$ n² и ${\frac{q}{2}}$ $\le$ 2n, получаем требуемое неравенство p + q $\le$ (n + 1)².

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	24
Название	Целочисленные решетки
Тема	Целочисленные решетки
параграф
Номер	2
Название	Формула Пика
Тема	Теорема Пика
задача
Номер	24.006б