Задача 58468

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

Докажите, что если ac - b² ≠ 0, то с помощью параллельного переноса x' = x + x₀, y' = y + y₀ уравнение Q(x, y) + 2dx + 2ey = f, где Q (x, y) = ax² + 2bxy + cy² можно привести к виду

ax'² + 2bx'y' + cy'² = f',

где f' = f - Q(x₀, y₀) + 2(dx₀ + ey₀).

Решение

Ясно, что

Q(x, y) + 2dx + 2ey	= a(x' - x0)2 + 2b(x' - x0)(y' - y0) + c(y' - y0)2 +
	+ 2d (x' - x0) + 2e(y' - y0) =
	= ax'2 + 2bx'y' + cy'2 + 2(- ax0 - by0 + d )x' +
	+ 2(- bx0 - cy0 + e)y' + Q(x0, y0) - 2(dx0 + ey0).

Если ac - b² ≠ 0, то система уравнений ax₀ + by₀ = d, bx₀ + cy₀ = e имеет (единственное) решение. Решив эту систему и положив f' = f - Q(x₀, y₀) + 2(dx₀ + ey₀), приводим исходное уравнение к требуемому виду.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Классификация кривых второго порядка
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.001