Информация о задаче

Задача 58515

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь треугольника, образованного асимптотами и касательной к гиперболе, одна и та же для всех касательных.

Решение

Касательная ${\dfrac{x_0x}{a^2}}$ - ${\dfrac{y_0y}{b^2}}$ = 1 пересекает асимптоты y = ± ${\dfrac{b}{a}}$ x в точках с координатами x_{1, 2} = a $\left(\vphantom{\dfrac{x_0}{a}\pm\dfrac{y_0}{b}}\right.$ ${\dfrac{x_0}{a}}$ ± ${\dfrac{y_0}{b}}$ $\left.\vphantom{\dfrac{x_0}{a}\pm\dfrac{y_0}{b}}\right)^{-1}_{}$ . Поэтому x₁x₂ = a². Ясно также, что площадь рассматриваемого треугольника пропорциональна x₁x₂.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	4
Название	Гипербола
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.048