Задача 60709

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что число  1^k + 2^k + ... + 12^k  делится на 13 для  k = 1, 2, ..., 11.

Решение

  Поскольку  2¹² ≡ 1 (mod 13),  то наименьшая степень n, при которой  2ⁿ ≡ 1 (mod 13),  – делитель числа 12. Но ни 2⁴, ни 2⁶ (а тем более 2² и 2³) не сравнимы с 1 по модулю 13. Значит, числа 2⁰, 2¹, 2², ..., 2¹¹ составляют приведённую систему вычетов по модулю 13.
  Следовательно,  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.083