ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61252
Темы:    [ Кубические многочлены ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Производная и экстремумы ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что
  а) при  p ≥ 0  график многочлена  x³ + px + q  пересекает каждую горизонтальную прямую ровно в одной точке;
  б) при  p < 0  график пересекает некоторые горизонтальные прямые в трёх точках;
  в) при  p < 0  график имеет один минимум и один максимум;
  г) абсциссы точек минимума и максимума противоположны.


Решение

Все исследуемые свойства не зависят от свободного члена. Поэтому достаточно их проверить для многочлена  x³ + px.

  а) Функция  x³ + px  строго возрастает, как сумма двух строго возрастающих функций. Значит, каждое значение она принимает не больше одного раза. С другой стороны, кубическое уравнение  x³ + px = b  имеет решение при любом b.

  б) Например, прямую  y = 0  график пересекает в трёх точках.

  в) Пусть  p = – a².  На отрезке  [– a, 0]  многочлен  x³ + px = x(x – a)(x + a)  неотрицателен и, следовательно, имеет положительный максимум. Аналогично на отрезке  [0, a]  он имеет отрицательный минимум. Больше двух эстремумов он иметь не может, так как производная имеет ровно два корня.

  г) Из нечётности функции  x³ + px  следует, что точки экстремума симметричны относительно начала координат.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 1
Название Уравнения третьей степени
Тема Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер 09.001

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .