Задача 61501

Темы:    [ Формальные степенные ряды ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Функции a, b и c заданы рядами

   

   

   

Докажите, что   a³ + b³ + c³ – 3abc = (1 + x³)ⁿ.

Решение

Заметим, что   a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a + ωb + ω²c)(a + ω²b + ωc)   (см. задачу 61259). Имеем
  a + b + c = (1 + x)ⁿ,
  a + ωb + ω²c = (1 + ωx)ⁿ,
  a + ω²b + ωc = (1 + ω²x)ⁿ.
Поэтому   a³ + b³ + c³ – 3abc = ((1 + x)(1 + ωx)(1 + ω²x))ⁿ = (1 + x³)ⁿ.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	3
Название	Производящие функции
Тема	Производящие функции
задача
Номер	11.074