ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64335
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяты соответственно точки C1 и A1 так, что  AC = A1C = AC1.
Докажите, что описанные окружности треугольников ABA1 и CBC1 пересекаются на биссектрисе угла B.


Решение

  Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC (см. рис.). Докажем, что описанная окружность треугольника ABI проходит через точку A1.

  Первый способ.  ∠AIB = 90° + ½ ∠C  (см. задачу 55448), а  ∠CA1A = ∠CAA1 = 90° – ½ ∠C = 180° – ∠AIB

  Второй способ. Центр описанной окружности треугольника Ω треугольника AIB совпадает с серединой дуги AB описанной окружности треугольника ABC ("теорема о трилистнике", см. задачу 53119). Следовательно, окружность Ω пересекает сторону CB в точке, симметричной точке A, то есть в A1.
  Аналогично, описанная окружность треугольника СIB проходит через точку C1. Следовательно, описанные окружности треугольников ABA1 и CBC1 пересекаются в точке I.

Замечания

Задача является частным случаем следующего утверждения.
  Пусть ABC – треугольник. Отложим соответственно на лучах AB и CB равные отрезки AC1 и СA1. Тогда описанные окружности треугольников ABA1 и CBC1 пересекаются на биссектрисе угла ABC.
  Доказательство. Пусть O, OA, OC – центры описанных окружностей треугольников ABC, ABA1, CBC1 соответственно. Общая хорда последних двух окружностей проходит через точку B, поэтому достаточно доказать, что прямая OAOC перпендикулярна биссектрисе угла ABC.
  Заметим, что OOA и OOC – серединные перпендикуляры к AB и CB. Значит, биссектрисы углов OAOOC и ABC параллельны, поэтому достаточно доказать, что  OOA = OOC.  Заметим, что проекция OOA на BC равна ½ CA1, а проекция OOC на AB – ½ AC1, то есть эти проекции равны. Равны также и углы между OOA и CA1 и между AC1 и OCO. Значит, равны и исходные отрезки OOA и OOC.

  Разумеется, утверждение остаётся верным и при откладывании AC1 и СA1 в направлениях, противоположных направлениям лучей AB и CB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 11 (2013 год)
Дата 2013-04-14
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .