|
|
 |
Условие
Три окружности касаются друг друга извне и касаются четвёртой окружности изнутри. Их центры были отмечены, а сами окружности стёрты. Оказалось, что невозможно установить, какая из отмеченных точек – центр объемлющей окружности. Докажите, что отмеченные точки образуют прямоугольник.
Решение
Пусть O и R – соответственно центр и радиус объемлющей окружности, O1, O2, O3 и R1, R2, R3 – центры и радиусы остальных. Тогда
OOi = R – Ri (i = 1, 2, 3), OiOj = Ri + Rj (i, j = 1, 2, 3, i ≠ j). Отсюда OO1 – O2O3 = OO2 – O3O1 = OO3 – O1O2 = R – R1 – R2 – R3 = d.
Пусть d ≠ 0, например, d > 0. Тогда расстояние от O до любой из точек O1, O2, O3 больше, чем расстояние между остальными двумя точками. Это определяет O однозначно, вопреки условию. Действительно, если в каждой из пар (OO1,O2O3), (OO2, O1O3) и (OO3, O1O2) раскрасить длинный отрезок в красный цвет, а короткий – в синий, то O – единственная точка, в которой сходятся три отрезка одного цвета. То же верно при d < 0.
Следовательно, d = 0, и в несамопересекающемся четырёхугольнике, образованном данными точками, противоположные стороны равны и диагонали равны. Значит, это прямоугольник.
