ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64449
Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Учитель выбрал 10 подряд идущих натуральных чисел и сообщил их Пете и Васе. Каждый мальчик должен разбить эти 10 чисел на пары, подсчитать произведение чисел в каждой паре, а затем сложить полученные пять произведений. Докажите, что мальчики могут сделать это так, чтобы разбиения на пары у них не были одинаковыми, но итоговые суммы совпадали.


Решение 1

Пусть Петя из первой четвёрки чисел n,  n + 1,  n + 2,  n + 3  составит сумму  n(n + 1) + (n + 2)(n + 3) = 2n² + 6n + 6,  а Вася –
n(n + 3) + (n + 1)(n + 2) = 2n² + 6n + 2.  Тогда на первой четвёрке чисел Петя наберёт сумму на 4 больше, чем Вася. Со второй четвёркой чисел они поступят наоборот, сравняв общую сумму. Затем добавят к ней произведение оставшихся двух чисел и получат одинаковые результаты.


Решение 2

Пусть из первых шести чисел Петя составит сумму  n(n + 5) + (n + 1)(n + 3) + (n + 2)(n + 4),  а Вася –  n(n + 4) + (n + 1)(n + 5) + (n + 2)(n + 3).  Обе эти суммы равны  3n² + 15n + 11.  Оставшиеся числа мальчики могут одинаково разбить на пары.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 35
Дата 2013/2014
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .