ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64509
Темы:    [ Выпуклые многоугольники ]
[ Четность и нечетность ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом 2009-угольнике проведены все диагонали. Прямая пересекает 2009-угольник, но не проходит через его вершины.
Докажите, что прямая пересекает чётное число диагоналей.


Решение

Пусть по одну сторону от прямой находится m, а по другую n вершин 2009-угольника. Тогда прямая пересекает mn отрезков, соединяющих вершины многоугольника. Два из них – стороны, а  mn – 2  – диагонали. Поскольку  m + n  нечётно, mn чётно.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2008/2009
Номер 30
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .