ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64523
Темы:    [ Процессы и операции ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Замок обнесён круговой стеной с девятью башнями, на которых дежурят рыцари. По истечении каждого часа все они переходят на соседние башни, причём каждый рыцарь движется либо все время по часовой стрелке, либо против. За ночь каждый рыцарь успевает подежурить на каждой башне. Известно, что был час, когда на каждой башне дежурили хотя бы два рыцаря, и был час, когда ровно на пяти башнях дежурили ровно по одному рыцарю. Докажите, что был час, когда на одной из башен вообще не было рыцарей.


Решение

  Представим себе, что рыцари стоят на 18 площадках, расположенных на двух круговых платформах, которые каждый час поворачиваюся в противоположных направлениях на 40°. По условию в некоторый момент на пяти площадках никого не было, а на соответствующих площадках (в тех же башнях) было по одному рыцарю. Разберём два случая.
  1) Пустые площадки есть на обеих платформах. Тогда в некоторый момент они окажутся в одной башне, то есть на этой башне рыцарей не будет.
  2) Все пустые площадки находятся на одной платформе, а все одинокие рыцари – на другой. Поскольку башен всего  9 < 5 + 5,  в каждый момент найдётся башня, где окажутся и пустая площадка и одинокий рыцарь. Но это противоречит условию.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2008/2009
Номер 30
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .