ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64555
Темы:    [ Правильная пирамида ]
[ Куб ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Теорема косинусов ]
[ Скалярное произведение ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана правильная треугольная пирамида SABC, ребро основания которой равно 1. Из вершин A и B основания ABC проведены медианы боковых граней, не имеющие общих точек. Известно, что на прямых, содержащих эти медианы, лежат рёбра некоторого куба. Найдите длину бокового ребра пирамиды.


Решение

  Указанные медианы AD и BE боковых граней ASB и BSC лежат на скрещивающихся прямых, а скрещивающиеся рёбра куба взаимно перпендикулярны. Таким образом, требуется найти длину b бокового ребра пирамиды, у которой угол между скрещивающимися медианами боковых граней равен 90°.

  Первый способ. По формуле для вычисления медианы треугольника   .   При параллельном переносе на вектор    образом медианы BE является отрезок FD (точка F лежит на прямой BC, см. рис.). Из треугольника ABF по теореме косинусов   .   Треугольник ADF – прямоугольный равнобедренный, поэтому     Значит,   ,   откуда   .

  Второй способ. Пусть  ∠SBA = ∠SBC = α.  Рассмотрим векторы     Имеем:   (см. рис.). Отсюда     Учитывая, что  BA = BC = 1  и  BS = b,  получим:  0 = ¼ (b² + b·1·cos α – 2b·1 – 2·1·1·cos 60°) = ¼ (b² – b cos α – 1).

  Из треугольника ABS:  b cos α = ½ AB = ½,  значит,  b² = 3/2,  то есть  .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2013
класс
Класс 11
задача
Номер 11.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .