ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64619
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны.
Докажите, что если биссектрисы углов DAC, DBC, ACB и ADB образовали ромб, то  AB = CD.


Решение 1

  Пусть O – точка пересечения диагоналей AC и BD (см. рис). Биссектрисы углов ADB и DAC пересекаются в центре O1 вписанной окружности треугольника AOD, а биссектрисы углов ACB и DBC – в центре O2 вписанной окружности треугольника BOC. Значит, точки O1 и O2 лежат на общей биссектрисе вертикальных углов AOD и BOC.
  Рассмотрим ромб PO1QO2 из условия задачи. В нём  ∠PO1O2 = ∠QO1O2,  а значит,  ∠DO1O = ∠AO1O.  Следовательно, треугольники AOO1 и DOO1 равны по стороне (O1O – общая) и двум прилежащим углам, откуда  AO = DO.  Отсюда  ∠OAD = ∠ODA,  и четырёхугольник ABCD симметричен относительно серединного перпендикуляра к AD. Поэтому  AB = CD.


Решение 2

  Обозначим вершины ромба через P, O1, Q, O2, как и в решении 1. Расстояние между прямыми O2P и O1Q равно расстоянию между прямыми O1P и O2Q, то есть  AC sin(½∠CAD) = BD sin(½∠BDA).
  Так как вершины B и C равноудалены от прямой AD, имеем  AC sin ∠CAD = BD sin∠BDA.
  Деля второе полученное равенство на первое, получаем  cos(½∠CAD) = cos(½∠BDA).
  Так как оба угла CAD и BDA меньше 180°, получаем, что  ∠CAD = ∠BDA.  Как и в решении 1, заключаем, что  AB = CD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
1
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .