ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64728
Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли такой квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c  с целыми коэффициентами и a, не кратным 2014, что все числа  f(1),  f(2), ...,  f(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?


Решение

Пусть  f(x) = 1007x² + 1008x = 1007x(x + 1) + x.  Поскольку произведение  x(x + 1)  является чётным числом при всех натуральных x, то  1007x(x + 1)  делится на 2014 при всех таких x. Следовательно,  f(x) дает такой же остаток при делении на 2014, как и x. Значит, все числа  f(1),  f(2), ...,  f(2014) имеют различные остатки при делении на 2014.


Ответ

Существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2014
Номер 77
класс
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .