Задача 64797

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Пусть AH_a и BH_b – высоты, а AL_a и BL_b – биссектрисы треугольника ABC. Известно, что  H_aH_b || L_aL_b.  Верно ли, что  AC = BC?

Решение

  Достаточно доказать,что  ∠L_aBL_b = ∠L_bAL_a  (см. рис.). Это можно сделать по-разному.

  Первый способ. Так как треугольники H_aH_bC и ABC подобны (см. задачу 52357), треугольники L_aL_bC и ABC также подобны, то есть
L_aC : AC = L_bC : BC.  Значит, подобны треугольники AL_aC и BL_bC. Следовательно,  ∠L_aBL_b = ∠L_bAL_a.

  Второй способ. Так как прямые H_aH_b и AB антипараллельны относительно прямых AC и BC, прямые L_aL_b и AB также антипараллельны относительно AC и BC. Значит, четырёхугольник AL_bL_aB – вписанный, и  ∠L_aBL_b = ∠L_bAL_a.

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
класс
Класс	8
задача
Номер	8.2