|
|
 |
Условие
Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA, ABв точках A', B', C' соответственно. Прямые AA', BB' и CC' пересекаются в точке G. Описанная окружность треугольника GA'B', вторично пересекает прямые AC и BC в точках CA и CB. Аналогично определяются точки AB, AC, BC, BA. Докажите, что точки AB, AC, BC, BA, CA, CB лежат на одной окружности.
Решение
Докажем, что указанные шесть точек равноудалены от центра I вписанной окружности треугольника ABC.
Хорды B'CA и A'CB описанной окружности треугольника GA'B' пересекаются в точке C, поэтому B'C·CAC = A'C·CBC. Так как B'C = A'C, то и CAC = CBC. Значит, серединный перпендикуляр к отрезку CACB содержит биссектрису угла C, то есть проходит через I.
Для секущих, проведённых из точки A к той же окружности выполнено равенство AB'·ACA = AG·AA'. Аналогично AС'·ABA = AG·AA'. Так как AB' = AC', то и
ACA = ABA. Значит, серединный перпендикуляр к отрезку BACA содержит биссектрису угла A, то есть проходит через I.
Итак, точка I равноудалена от точек BA, CA, CB. Аналогично доказывается её равноудаленность от точек AB, CA, CB. И так далее.
Замечания
7 баллов
