Задача 64876

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Прокопенко Д., Швецов Д.В.

На окружности ω c центром O фиксированы точки A и C. Точка B движется по дуге AC. Точка P – фиксированная точка хорды AC. Прямая, проходящая через P параллельно AO, пересекает прямую BA в точке A₁; прямая, проходящая через P параллельно CO, пересекает прямую BC в точке C₁. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A₁BC₁ движется по прямой.

Решение

Пусть Q – вторая точка пересечения прямой AC с окружностью A₁PC₁. Тогда  ∠QA₁C₁ = ∠QPC₁ = ∠QCO = ∠QAO = ∠APA₁ = ∠QC₁A₁.  Следовательно,  QA₁ = QC₁  и  ∠A₁QC₁ = ∠AOC = 2∠A₁BC₁,  то есть Q – центр описанной окружности треугольника A₁BC₁ (см. рис.). Таким образом, этот центр движется по прямой AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
тур
задача
Номер	13