Задача 65012

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Выпуклый n-угольник разрезан на три выпуклых многоугольника. У одного из них n сторон, у другого – больше чем n, у третьего – меньше чем n.
Каковы возможные значения n?

Решение

  Очевидно,  n > 3.  Предположим, что  n > 5.  Тогда одна из частей nугольника имеет не менее  n + 1  стороны, вторая – n, третья – не менее трёх. При соединении этих частей либо три пары сторон соединяются внутри многоугольника и не более трёх пар образуют его стороны, либо две пары соединяются внутри и не более четырёх образуют стороны. В любом случае суммарное количество сторон частей превосходит n не более чем на 9, что при  n > 5  невозможно.
  Примеры для  n = 4, 5  показаны на рисунке.

Ответ

n = 4 или 5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	11