ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65086
Темы:    [ Трапеции (прочее) ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  AD = АВ + CD.  Оказалось, что биссектриса угла А проходит через середину стороны ВС.
Докажите, что биссектриса угла D также проходит через середину ВС.


Решение

Пусть E – середина BC. Отметим на стороне AD такую точку F, что  AB = AF;  тогда  FD = CD.  Треугольники AEB и AEF равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,  EF = BE = EC.  Следовательно, треугольники DEF и DEC равны по трём сторонам, откуда  ∠EDF = ∠EDC,  и точка E лежит на биссектрисе угла D.

Замечания

Несложно показать, что  AB || CD.  Действительно,  ∠ABE = ∠AFE = 180° – ∠DFE = 180° – ∠DCE.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
тур
Номер 3 (2011 год)
тур
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .