ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



Задача 65084

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На доске нарисованы три четырёхугольника. Петя сказал: "На доске нарисованы по крайней мере две трапеции". Вася сказал: "На доске нарисованы по крайней мере два прямоугольника". Коля сказал: "На доске нарисованы по крайней мере два ромба". Известно, что один из мальчиков сказал неправду, а двое других – правду. Докажите, что среди нарисованных на доске четырёхугольников есть квадрат.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65085

Темы:   [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65086

Темы:   [ Трапеции (прочее) ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  AD = АВ + CD.  Оказалось, что биссектриса угла А проходит через середину стороны ВС.
Докажите, что биссектриса угла D также проходит через середину ВС.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65087

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Храмцов Д.

Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая ломаная без самопересечений. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченной ею части доски общая площадь чёрных кусков равна общей площади белых кусков.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65088

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Бизнесмен Борис Михайлович решил устроить с трактористом Васей гонки по шоссе. Поскольку его "Лексус" едет вдесятеро быстрее Васиного трактора, он дал Васе фору и выехал через час после Васи. После того, как Васин трактор проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора, поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую. В результате встречи с Васиной рессорой Борису Михайловичу пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа, после чего он продолжил путь вдвое медленнее, чем раньше. Докажите, что в результате он отстал от Васи не менее, чем на час.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .