ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65723
Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Фирма записала свои расходы в рублях по 100 статьям бюджета, получив список из 100 чисел (у каждого числа не более двух знаков после запятой). Каждый счетовод взял копию списка и нашёл приближённую сумму расходов, действуя следующим образом. Вначале он произвольно выбрал из списка два числа, сложил их, отбросил у суммы знаки после запятой (если они были) и записал результат вместо выбранных двух чисел. С полученным списком из 99 чисел он проделал то же самое, и так далее, пока в списке не осталось одно целое число. Оказалось, что в итоге все счетоводы получили разные результаты. Какое наибольшее число счетоводов могло работать в фирме?


Решение

  Оценка. Счетоводы каждый раз вычисляли целую часть суммы каких-то двух чисел, которая равна сумме их целых частей плюс, возможно, единица. Назовём это добавление единицы оказией. Она могла случаться лишь тогда, когда оба слагаемых были нецелыми. Каждый счетовод получил в итоге сумму целых частей исходных чисел плюс количество оказий, случившихся у него. Поскольку каждая оказия удаляла два нецелых числа, то оказий было максимум 50, а возможных различных результатов – 51.
  Пример. Пусть было 50 чисел 0,3 и 50 чисел 0,7. Покажем, как счетоводу получить любой целый результат k от 0 до 50. Сначала он складывает k раз  0,3 + 0,7  и получает k единиц (при  k = 0  он складывает  0,3 + 0,3).  Далее к имеющемуся уже целому числу он добавляет по очереди все остальные числа без оказий.


Ответ

51 счетовод.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .