ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65749
Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Степень вершины ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?


Решение

  Пусть x и y – общее число матчей, сыгранных внутри Восточной и Западной конференций соответственно, а z – число матчей между командами разных конференций. Нам надо доказать, что равенство  z = ½ (x + y + z)  невозможно.
  Каждая из k команд Восточной конференции участвует в 82 играх; значит,  82k = 2x + z  (коэффициент 2 появился из-за того, что каждый внутренний матч учтён у обеих участвовавших в нём команд). Отсюда видно, что число z чётно. Но из подсчёта общего числа матчей  x + y + z = 30·82 : 2  следует, что число
½ (x + y + z) = 15·41  нечётно. Значит, равенство  z = ½ (x + y + z)  не может выполняться.


Ответ

Не сможет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 10.1
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 5
класс
Класс 11
задача
Номер 11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .