|
|
 |
Условие
По краю многоугольного стола ползут два муравья. Все стороны стола длиннее 1 м, а расстояние между муравьями всегда ровно 10 см. Сначала оба муравья находятся на одной из сторон стола.
a) Пусть стол выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы в каждой точке края побывал каждый из муравьев?
б) Пусть стол не обязательно выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы на краю не осталось точек, в которых не побывал ни один из муравьев?
Решение
a) Рассмотрим стол в виде равнобедренного треугольника с горизонтальным основанием и высотой, меньшей 10 см. Муравьи не могут оказаться на одной вертикали: тогда бы они оказались слишком близко друг к другу. Поэтому правый муравей всегда останется правее левого и, значит, не сможет попасть в левую вершину.
б) Возьмём равнобедренный треугольник ABC с горизонтальным основанием AC меньше 10 см и на его оси симметрии отметим точку D так, чтобы и BD было меньше 10 см. Изготовим стол в форме невыпуклого четырёхугольника ABCD (см. рис.). Аналогично a) муравьи не могут оказаться на одной горизонтали, поэтому один из них всегда будет находиться выше другого. Верхний не может пройти через точки A и C, а нижний – через B и D (все точки выше вершины D ближе 10 см к ней). Значит, каждый из муравьев может гулять только по двум соседним сторонам (включая исходную), поэтому на "противоположную" сторону ни один из них не попадёт.
Ответ
Не всегда.
Замечания
баллы: 8-9 кл. – 2 + 4, 10-11 кл. – 2 + 3
