|
|
 |
Условие
Найдите наибольшее натуральное число N, для которого уравнение 99x + 100y + 101z = N имеет единственное решение в натуральных числах x, y, z.
Решение
Из равенств 99 + 101 = 2·100, 50·99 + 100 = 50·101 и 51·99 = 100 + 49·101 следует, что из любого решения (x, y, z) в целых числах можно получить еще шесть решений: (x + 1, y – 2, z + 1), (x – 1, y + 2, z – 1), (x + 50, y + 1, z – 50), (x – 50, y – 1, z + 50), (x – 51, y + 1, z + 49) и (x + 51, y – 1, z – 49). Назовём их близкими к (x, y, z).
Пусть (x0, y0, z0) – единственное решение в натуральных числах. Значит, каждое из шести близких решений содержит 0 или отрицательное число. Из этого следует, что y0 ≤ 2, одно из чисел x0, z0 равно 1, x0 ≤ 51, z0 ≤ 50, а при y0 = 2, x0 ≤ 50, z0 ≤ 49. Поэтому наибольшее N не превосходит
max {99 + 100 + 50·101, 99 + 200 + 49·101, 51·99 + 100 + 101, 50·99 + 200 + 101} = 50·99 + 200 + 101 = 5251.
Покажем, что уравнение 99x + 100y + 101z = 5251 действительно имеет единственное решение. Запишем его в виде 99(x + y + z) + y + 2z = 53·99 + 4. Рассмотрим два случая.
1) x + y + z ≤ 52. Тогда y + 2z ≥ 103 ⇒ 2(x + y + z) = (y + 2z) + (2x + y) ≥ 106. Противоречие.
2) x + y + z = 53, y + 2z = 4 ⇒ y = 2, z = 1 ⇒ x = 50.
Ответ
N = 5251.
Замечания
7 баллов
