ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65870
Темы:    [ Процессы и операции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Десяти ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине всем другим детям. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин?


Решение

  Оценка. Рассмотрим разность между количеством макаронин Пети и количеством макаронин Васи. Действие Пети уменьшит эту разность на 10, Васи – увеличит на 10, а действия других детей не изменят её. Поэтому эта разность не будет нулевой тогда и только тогда, когда Петя и Вася сделают разное количество действий. Следовательно, чтобы у всех детей оказалось разное количество макаронин, им необходимо сделать хотя бы  0 + 1 + 2 + ... + 9 = 45  действий.
  Пример. Первый сделает 0 действий, второй – 1, третий – 2, ..., десятый – 9. Каждый отдаст не более  9∙9 = 81  макаронины, исходных 100 его макаронин на это хватит.


Ответ

После 45 действий.

Замечания

1. 5 баллов.

2. Ср. с задачей 65877.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2016/17
Номер 38
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .