|
|
 |
Условие
Дана треугольная пирамида ABCD с плоскими прямыми углами при вершине D, в которой CD = AD + DB.
Докажите, что сумма плоских углов при вершине C равна 90°.
Решение
Пусть ∠ACD = α, ∠BCD = β, ∠BCA = γ, DA = a, DB = b. По условию CD = a + b, а доказать требуется, что α + β + γ = 90°.
Первый способ. Пусть CA = m, CB = n (рис. слева).
Сначала докажем, что углы α + β и γ – острые. Действительно, в прямоугольных треугольниках ACD и ВCD катеты AD и BD – наименьшие, значит,
α < 45° и β < 45°. Следовательно, γ < α + β < 90°. Теперь достаточно проверить, что sin (α + β) = cos γ.
Поскольку плоскости ACD и BCD перпендикулярны, то по теореме косинусов для трёхгранного угла (см. задачу 61247)
Второй способ. Заметим, что при фиксированных длинах рёбер DA и DB существует единственная пирамида ABCD, удовлетворяющая условию задачи.
Рассмотрим квадрат СD1TD2 со стороной a + b и отложим на его сторонах TD1 и TD2 отрезки TA = b и TB = a соответственно (рис. справа). Тогда пятиугольник ABD2CD1 является развёрткой боковой поверхности данной пирамиды, а треугольник ATB равен треугольнику ADB её основания. Таким образом, выполняются все условия задачи, значит, α + β + γ = 90°.
