ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65937
Темы:    [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном неравностороннем треугольнике отметили четыре точки: центры вписанной и описанной окружностей, точку пересечения медиан и ортоцентр. Затем сам треугольник стерли. Оказалось, что невозможно установить, какому центру соответствует каждая из отмеченных точек. Найдите углы треугольника.


Решение

  Пусть АВС – исходный треугольник, А1, В1, С1 – середины сторон ВС, СА, АВ соответственно. Так как треугольники АВС и А1В1С1 гомотетичны относительно точки М пересечения медиан (с коэффициентом −½), а центр О описанной окружности треугольника АВС является ортоцентром треугольника А1В1С1, то точка М лежит на отрезке ОН (Н – ортоцентр треугольника АВС) и  НМ = 2МО.

  Поэтому, если центр I вписанной окружности не лежит на одной прямой (прямой Эйлера) с тремя остальными точками, то можно однозначно установить роль каждой из точек в треугольнике АВС. Отметим, что эта прямая проходит не более чем через одну вершину треугольника, так что можно считать, что точки А и В не лежат на ней.
  Итак, I лежит на прямой Эйлера. Так как  ∠OBA = ∠HBC = π/2 – ∠CBI является биссектрисой угла НВО. Следовательно, точка I лежит на отрезке ОН, причём  OI = 2IH  (иначе роль точек устанавливается однозначно). По свойству биссектрисы получаем, что  ВО = 2ВН.  Аналогично  АО = 2АН.  Таким образом,  AH = BH = R/2,  где R – радиус описанной окружности треугольника АВС.
  Из гомотетии, указанной выше, следует также, что  АH = 2OA1  (и эти отрезки параллельны). Кроме того,  ОА1 = R cos A  (так как
OBA1 = ½ ∠BOC = ∠A).  Поэтому  R/2 = АН = 2R cos A   ⇒  cos A = ¼.
  Точно так же доказывается, что  cos B = ¼.


Ответ

arсcos ¼, arсcos ¼,  π – 2 arсcos ¼.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2005
тур
задача
Номер 16

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .