Задача 65938

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Построения одной линейкой ] [ Окружность Аполлония ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

В треугольник АВС вписана окружность и отмечен её центр I и точки касания P, Q, R со сторонами ВС, СА, АВ соответственно. Одной линейкой постройте точку К, в которой окружность, проходящая через вершины В и С, касается (внутренним образом) вписанной окружности.

Решение

  Сначала проведём прямую PI. Если она проходит через точку А, то  АВ = АС,  и К совпадает с точкой P', диаметрально противоположной точке Р.
  Далее рассматриваем случай, когда  АВ ≠ АС.
  Построение (рис. слева).
    1. Проведём прямую ВС.
    2. Проведём прямую QR и отметим точку T пересечения этой прямой с прямой ВС.
    3. Проведём прямую P'T и отметим точку К – вторую точку пересечения этой прямой с вписанной окружностью.
  Точка К и есть искомая.

  Доказательство. Точка Т делит отрезок ВС в том же отношении, что и точка Р: по теореме Чевы     а по теореме Менелая     следовательно,  BP : PC = BT : TC.
  Согласно решению задачи 53599 КР – биссектриса угла ВКС (рис. справа). По свойству биссектрисы,  ^BP/_CP = ^KB/_KC = λ ≠ 1.
  Поэтому точка К лежит на окружности Аполлония для отрезка ВС с отношением λ, построенной на РТ как на диаметре, то есть угол ТКР – прямой, или, что то же, прямым является угол PKP', что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
тур
задача
Номер	17