ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66231
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD провели трисектрисы углов A и B. Трисектрисы, ближние к стороне AB, пересекаются в точке O. Обозначим пересечение трисектрисы AO со второй трисектрисой угла B через A1, а пересечение трисектрисы BO со второй трисектрисой угла A через B1. Пусть M – середина отрезка A1B1, а прямая MO пересекает сторону AB в точке N. Докажите, что треугольник A1B1N – равносторонний.


Решение

Пусть K – точка пересечения дальних трисектрис (см. рис.). Тогда  ∠K = 60°,  а AA1 и BB1 – биссектрисы треугольника ABK. Так как  ∠A1OB1 = 120°,  то четырёхугольник A1KB1O – вписанный. Поскольку KO – биссектриса угла K,  OA1 = OB1.  Следовательно,  ∠MOA1 = 60° = ∠A1OB = ∠BON.  Отсюда  ON = OA1,  то есть точки A1, B1 и N лежат на окружности с центром O. Поскольку центральные углы A1OB1, A1ON и B1ON равны, то треугольник A1B1N – равносторонний.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2015
тур
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .