|
|
 |
Условие
Правильный $n$-угольник со стороной 1 вращается вокруг другого такого же $n$-угольника, как показано на рисунке. Последовательные положения одной из его вершин в моменты, когда $n$-угольники имеют общую сторону, образуют замкнутую ломаную $\kappa$.Докажите, что $\kappa$ ограничивает площадь, равную $6A - 2B$, где $A$, $B$ – площади правильных $n$-угольников с единичными стороной и радиусом описанной окружности соответственно.
Решение
Разобьем фигуру, ограниченную $\kappa$, на треугольники, как на рис.1.Треугольники, основаниями которых являются стороны $2,\ldots, n - 1$ неподвижного $n$-угольника, образуют правильный $n$-угольник со стороной $1$, как показано на рис.2.
Разрежем два правильных $n$-угольника с единичным радиусом описанной окружности аналогично рис.2, составим из полученных частей $n - 1$ подоных равнобедренных треугольников с углом при основании $\frac{180^\circ}{n}$ (рис.3) и добавим к этим треугольникам оставшиеся треугольники рис.1 (рис.4).
Разрежем каждый из $n - 1$ четырехугольников рис.4 на четыре части и сложим из них два равнобедренных треугольника с углом при основании $\frac{180^\circ}{n}$ (рис.5).
Наконец, соберем из этих $2n - 2$ треугольников четыре правильных $n$-угольника со стороной $1$ процессом, обратным показанному на рис.3.
Таким образом, мы добавили два правильных $n$-угольника с единичным радиусом описанной окружности к фигуре, ограниченной $\kappa$, и разрезали их объединение на части, из которых складываются шесть правильных $n$-угольников со стороной $1$.
