Задача 73680

Темы:    [ Периодичность и непериодичность ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Средние величины ] [ Предел последовательности, сходимость ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Толпыго А.К.

Хозяин обещает работнику платить в среднем     рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального n выплаченная за первые n дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к     Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.

Решение

  Пусть S_n – выплата за первые n дней. По условию     откуда  
  Предположим, что при  n > N  последовательность выплат – периодическая с периодом T. Тогда за каждые T следующих дней работник будет получать одно и то же целое число c рублей, в частности,  S_N+mT = S_N + mc  для любого натурального m. Значит,     Следовательно,     то есть    – рациональное число. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1972
выпуск
Номер	5
Задача
Номер	М145