ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73680
Темы:    [ Периодичность и непериодичность ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Средние величины ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Хозяин обещает работнику платить в среднем     рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального n выплаченная за первые n дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к     Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.


Решение

  Пусть Sn – выплата за первые n дней. По условию     откуда  
  Предположим, что при  n > N  последовательность выплат – периодическая с периодом T. Тогда за каждые T следующих дней работник будет получать одно и то же целое число c рублей, в частности,  SN+mT = SN + mc  для любого натурального m. Значит,     Следовательно,     то есть    – рациональное число. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1972
выпуск
Номер 5
Задача
Номер М145

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .