ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76421
Темы:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать: если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга равен $ {\frac{1}{3}}$ одной из высот.

Решение

Пусть a, a + d, a + 2d — стороны треугольника, h — высота, опущенная на сторону a + d. Площадь треугольника, с одной стороны, равна $ {\frac{(a+d)h}{2}}$, а с другой стороны, она равна произведению половины периметра на радиус вписанного круга: $ {\frac{a+(a+d)+(a+2d)}{2}}$r. Приравнивая эти выражения, получаем $ {\frac{(a+d)h}{2}}$ = $ {\frac{3(a+d)r}{2}}$, т.е. r = $ {\frac{1}{3}}$h.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 1
Год 1935
вариант
Вариант 3
Тур 1
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .