Условие
Расположить на прямой систему отрезков длины 1, не имеющих общих концов и
общих точек так, чтобы бесконечная арифметическая прогрессия с любой разностью
и любым начальным членом имела общую точку с некоторым отрезком системы.
Решение
Возьмём на положительной полуоси отрезки [1, 2],
2
, 3
![$ \left.\vphantom{2\frac{1}{2},3\frac{1}{2}}\right]$](show_document.php?id=1055744)
,
3
, 4
![$ \left.\vphantom{3\frac{3}{4},4\frac{3}{4}}\right]$](show_document.php?id=1055748)
, ..., промежутки между которыми
имеют длину 1/2, 1/4, 1/8, ...На отрицательной полуоси возьмём
симметричные им отрезки. Докажем, что эта система отрезков обладает требуемым
свойством.
Рассмотрим арифметическую прогрессию {
an} с положительной разностью
d.
Пусть
N — некоторое положительное число. Выберем
n так, что
an >
N.
Между
an и
an + 1 расположены выбранные нами отрезки с общей длиной
x и
промежутки между ними с общей длиной
y (возможно,
x = 0 или
y = 0). Ясно, что
число
x целое. Нас интересует случай, когда
an и
an + 1 попадают в
промежутки между выбранными отрезками. В таком случае
y > 0.
Пусть
d1 — наибольшее целое число, строго меньшее
d, а
d2 =
d -
d1.
Ясно, что 0 <
d2
1. Если
N достаточно велико, то общая длина промежутков
между выбранными отрезками, лежащих правее
N, меньше
d2. В таком случае
y <
d2. Ясно также, что
xd1. Поэтому
d =
x +
y <
d1 +
d2 =
d. Полученное
противоречие показывает, что
an или
an + 1 попадает в выбранный отрезок.
Если
d < 0, то аналогичные рассуждения можно применить к отрезкам на
отрицательной полуоси.
Источники и прецеденты использования
