ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78155
Темы:    [ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Для любых чисел a1 и a2, удовлетворяющих условиям  a1 ≥ 0,  a2 ≥ 0,  a1 + a2 = 1,  можно найти такие числа b1 и b2, что  b1 ≥ 0,  b2 ≥ 0,  b1 + b2 = 1,
(5/4a1)b1 + 3(5/4a2)b2 > 1.  Доказать.


Решение

Предположим, что  5/4a1 ≤ 1  и  3(5/4a2) ≤ 1.  Умножив первое неравенство на 3 и сложив со вторым, получим  3(5/2a1a2) ≤ 4,  откуда
a1 + a25/24/3 = 7/6 > 1,  что противоречит условию.
  Итак, одно из чисел  5/4a1 ≤ 1,  3(5/4a2)  больше единицы. Следовательно, достаточно взять либо  b1 = 1,  b2 = 0,  либо  b1 = 0,  b2 = 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 21
Год 1958
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .