Задача 78240

Темы:    [ Индукция в геометрии ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Дан остроугольный треугольник A₀B₀C₀. Пусть точки A₁, B₁, C₁ — центры квадратов, построенных на сторонах B₀C₀, C₀A₀, A₀B₀. С треугольником A₁B₁C₁ делаем то же самое. Получаем треугольник A₂B₂C₂ и т.д. Доказать, что A_{n + 1}B_{n + 1}C_{n + 1} пересекает A_nB_nC_n ровно в 6 точках.

Решение

Заметим, что если A_nB_nC_n остроугольный, то треугольник A_{n + 1}B_{n + 1}C_{n + 1} пересекает его в шести точках. Поскольку B_{n + 1}A_nC_n = 45^o = C_{n + 1}A_nB_n, а B_nA_nC_n острый, получаем, что лучи A_nB_n и A_nC_n лежат внутри угла B_{n + 1}A_nC_{n + 1}. Аналогично и для вершин B_n и C_n, а значит, шестиугольник A_nC_{n + 1}B_nA_{n + 1}C_nB_{n + 1} выпуклый и треугольник A_{n + 1}B_{n + 1}C_{n + 1} пересекает треугольник A_nB_nC_n в шести точках. Теперь докажем индукцией по n, что треугольник A_nB_nC_n остроугольный. Предположим, что при n = k треугольник остроугольный, тогда докажем, что при n = k + 1 треугольник также будет остроугольный. Уже доказано, что шестиугольник A_kC_{k + 1}B_kA_{k + 1}C_kB_{k + 1} выпуклый, а значит, угол C_{n + 1}A_{n + 1}B_{n + 1} меньше угла B_nA_{n + 1}C_n, но B_nA_{n + 1}C_n = 90^o, а значит, угол C_{n + 1}A_{n + 1}B_{n + 1} — острый. Аналогично докажем, что и другие углы треугольника C_{n + 1}A_{n + 1}B_{n + 1} острые, а значит, и сам треугольник остроугольный, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	24
Год	1961
вариант
	1
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	3