ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78572
Темы:    [ Взвешивания ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеется 11 мешков монет. В 10 из них монеты настоящие, а в одном – все монеты фальшивые. Все настоящие монеты одного веса, все фальшивые монеты – также одного, но другого веса. Имеются весы, с помощью которых можно определить, какой из двух грузов тяжелее и на сколько. Двумя взвешиваниями определить, в каком мешке фальшивые монеты.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Первое взвешивание. На одну чашу кладем по одной монете из 10 мешков, на другую – 10 монет из оставшегося мешка.
  Второе взвешивание. На первую чашу кладем одну монету из первого мешка, две монеты из второго, три – из третьего, ..., 10 монет из десятого. На другую – 55 монет из последнего (того же, что в прошлый раз) мешка.
  Пусть x – разность между весом фальшивой и настоящей монеты (возможно,  x < 0,  i – номер мешка с фальшивыми монетами. Разберём два случая.
  1)  i < 11.  Тогда при первом взвешивании весы покажут разность весов x, а при втором – ix.
  2)  i = 11.  Тогда при первом взвешивании весы покажут число – 10x, а при втором – 55x.
  Найдём отношение показаний весов при первом и втором взвешивании. Если это отношение – целое число, то оно равно номеру мешка с фальшивыми монетами (случай 1). Если же оно – нецелое, то фальшивые монеты находятся в мешке номер 11 (случай 2).


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 28
Год 1965
вариант
1
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .